洛谷 4099.「HEOI2013」SAO

注意到把边当成无向边就是棵树,以下提到这棵树的地方将会加上「」以区分。

考虑设 \(f_{u,i}\) 表示「以 \(u\) 为根的子树」的导出子图的所有拓扑序列中,\(u\) 放在第 \(i\) 位的方案数。
转移时考虑增加一个儿子 \(v\) 的贡献,设 \(f'_{u,i}\) 表示增加 \(v\) 的贡献之后的 \(f\)

\(v\) 必在 \(u\) 之前,枚举 \(u\) 原来的排名 \(j\)\(v\) 原来的排名 \(k\),则需从「以 \(v\) 为根的子树」中取 \(i-j\) 个放在 \(u\) 之前(必包含 \(v\)),有 \[ f'_{u,i} = \sum\limits_{j=1}^{\min(i-1,{\rm size}_u)} \sum\limits_{k=1}^{i-j} f_{u,j} f_{v,k} \binom{i-1}{j-1} \binom{ {\rm size}_u + {\rm size}_v - i }{ {\rm size}_u - j } \]

其中 \({\rm size}_u\) 表示「\(v\) 之前的子树」的大小,\({\rm size}_v\) 表示「以 \(v\) 为根的子树」的大小。
注意到这是一个 \(O(n^3)\) 的转移,然而用前缀和优化即可。

\(v\)\(u\) 之后的限制类似。

代码:

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e3;
const int mod = 1e9 + 7;
int T,n;
int C[N + 5][N + 5];
int to[(N << 1) + 5],val[(N << 1) + 5],pre[(N << 1) + 5],first[N + 5],edge_tot;
inline void add(int u,int v,int w)
{
int &tot = edge_tot;
to[++tot] = v,val[tot] = w,pre[tot] = first[u],first[u] = tot;
}
int fa[N + 5],sz[N + 5],f[N + 5][N + 5],g[N + 5],s[N + 5];
void dfs(int p)
{
sz[p] = f[p][1] = 1;
for(register int i = first[p];i;i = pre[i])
if(to[i] ^ fa[p])
{
fa[to[i]] = p,dfs(to[i]);
memset(g,0,sizeof g);
if(val[i])
{
s[0] = 0;
for(register int j = 1;j <= sz[to[i]];++j)
s[j] = (s[j - 1] + f[to[i]][j]) % mod;
for(register int j = 1;j <= sz[p] + sz[to[i]];++j)
for(register int k = 1;k <= min(j - 1,sz[p]);++k)
g[j] = (g[j] + (long long)f[p][k] * s[j - k] % mod * C[j - 1][k - 1] % mod * C[sz[p] + sz[to[i]] - j][sz[p] - k]) % mod;
}
else
{
s[sz[to[i]] + 1] = 0;
for(register int j = sz[to[i]];j;--j)
s[j] = (s[j + 1] + f[to[i]][j]) % mod;
for(register int j = 1;j <= sz[p] + sz[to[i]];++j)
for(register int k = 1;k <= min(j,sz[p]);++k)
g[j] = (g[j] + (long long)f[p][k] * s[j - k + 1] % mod * C[j - 1][k - 1] % mod * C[sz[p] + sz[to[i]] - j][sz[p] - k]) % mod;
}
sz[p] += sz[to[i]];
for(register int j = 1;j <= sz[p];++j)
f[p][j] = g[j];
}
}
int ans;
int main()
{
for(register int i = 0;i <= N;++i)
C[i][0] = 1;
for(register int i = 1;i <= N;++i)
for(register int j = 1;j <= i;++j)
C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % mod;
scanf("%d",&T);
for(;T;--T)
{
scanf("%d",&n),ans = edge_tot = 0;
memset(first,0,sizeof first);
int u,v;
char w;
for(register int i = 2;i <= n;++i)
scanf("%d %c%d",&u,&w,&v),++u,++v,add(u,v,w == '>'),add(v,u,w == '<');
dfs(1);
for(register int i = 1;i <= n;++i)
ans = (ans + f[1][i]) % mod;
printf("%d\n",ans);
}
}