LibreOJ 10188.「HNOI2008」玩具装箱

萌新初学斜率优化~

首先设 sumi=j=1icjsum_i = \sum\limits_{j = 1}^i c_j
有转移方程 fi=min0j<i(fj+(ij1+sumisumjL)2)f_i = \min\limits_{0 \le j < i}(f_j + (i - j - 1 + sum_i - sum_j - L)^2)

Ai=sumi+i,Bi=Ai+L+1A_i = sum_i + i,B_i = A_i + L + 1,则原式变为 fi=min0j<i(fj+(AiBj)2)f_i = \min\limits_{0 \le j < i}(f_j + (A_i - B_j)^2)
考虑 0k<j<i0 \le k < j < i,假设此时选 jj 比选 kk 更优,即 fj+(AiBj)2fk+(AiBk)2f_j + (A_i - B_j)^2 \le f_k + (A_i - B_k)^2
来推一波不等式:

注意到 cic_i 都是正整数,于是有 Bj>BkB_j > B_k

这玩意像什么?斜率!
我们在单调队列中维护一个下凸包(即相邻两点线段斜率单调上升的一个点集)。
然后每次从队头开始,在满足条件之前一直把队头扔掉(即我们刚才推出来的结论)。
这个时候的队头就是最优决策了(易证,其实是我懒)。
然后把当前的点入队,注意维护单调性。

这个方法没有几乎涉及到任何几何知识(斜率那些不算,就算你不知道也能看懂),纯粹是在代数层面推出的斜率优化,比较适宜新人理解。

代码:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 5e4;
int n,l,c[N + 5];
int q[N + 5],head,tail;
long long A[N + 5],B[N + 5],sum[N + 5],f[N + 5];
inline double slope(int x,int y)
{
return (double)(f[x] + B[x] * B[x] - f[y] - B[y] * B[y]) / (B[x] - B[y]);
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&l);
B[0] = l + 1;
for(register int i = 1;i <= n;++i)
scanf("%d",c + i),B[i] = (A[i] = (sum[i] = sum[i - 1] + c[i]) + i) + l + 1;
q[head = tail = 1] = 0;
for(register int i = 1;i <= n;++i)
{
for(;head < tail && slope(q[head],q[head + 1]) <= 2 * A[i];++head);
f[i] = f[q[head]] + (A[i] - B[q[head]]) * (A[i] - B[q[head]]);
for(;head < tail && slope(q[tail - 1],q[tail]) >= slope(q[tail],i);--tail);
q[++tail] = i;
}
printf("%lld\n",f[n]);
}

arknights