LibreOJ 3042.「ZJOI2019」麻将

昨晚搓了一局雀魂,牌运还不错;今天和同学聊天的时候提到了,然后顺便翻出了这道题和隔壁 GXOI/GZOI 那道麻将题。
然后顺便研究了一下这道题,其实也不是特别难写,不过想出来应该也很难。

首先我们考虑如何判定一堆牌的子集能否和牌。
注意到我们并不关心牌之间的顺序,故可以将这堆牌表示为「第 \(i\) 种牌有 \(a_i\) 种」的形式。
不难想到 DP,设 \(f_{i,0/1,j,k}\) 表示考虑到第 \(i\) 种牌,是否预留过雀头,预留了 \(j\)\((i-1,i)\)\(k\)\(i\) 的情况下能凑出的最多的面子数。
并且因为 \(j \ge 3\)\(k \ge 3\) 都可以算为面子,所以 \(j < 3,k < 3\)

如果我们要多次判定但只能做一次 DP 呢?
可以考虑将这个 DP 改成自动机。具体地,考虑把 \(f\) 数组删去第一维得到的数组作为一个自动机上的结点,DP 转移对应自动机上的转移。
在构造的时候,不考虑 \(i\) 的影响,因为最后无论如何都一定会得到和牌的状态。而得到和牌状态时则不能再改变状态,否则便会无限进行下去。
这样可以把相同结点合并,经实测,最多会有 \(2092\) 个结点。
判定的时候,只需要在自动机上跑边即可。

那么此题显然可以考虑在自动机上再设计一个 DP,达到 DP 套 DP 的效果。
考虑设 \(g_{i,j,k}\) 表示考虑到第 \(i\) 种牌,已经摸了 \(j\) 张牌,走到自动机上的 \(k\) 号结点有多少种方案。
可以容易地从这个 DP 得到 \(g'_i\) 表示摸 \(i\) 张牌都不和牌的方案数,由此便可知答案为 \[ 1+\frac1{(4n-13)!}\sum\limits_{i=1}^{4n-13} g'_i i!(4n-13-i)! \]

因为如果某种排列下摸 \(i+1\) 张牌才能和牌而 \(i\) 张牌则不行,那么对 \(i-1,i-2,\ldots\) 也会有贡献,总共就是刚好 \(i\) 次贡献。 并且确定了排列的前 \(i\) 张牌是哪些牌,顺序无所谓,后面的牌顺序也无所谓,所以要乘阶乘。
而题目问的是第一张能和牌的牌,所以要加一。

所以好像还没说 \(g\) 的转移?
也蛮简单的吧,注意枚举取多少第 \(i\) 种牌时要乘上一个组合数。

代码:

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <map>
using namespace std;
const int N = 100;
const int M = 2092;
const int mod = 998244353;
inline int fpow(int a,int b)
{
int ret = 1;
for(;b;b >>= 1)
(b & 1) && (ret = (long long)ret * a % mod),a = (long long)a * a % mod;
return ret;
}
int n,a[N + 5];
struct Matrix
{
int a[3][3];
inline int *operator[](const int &x)
{
return a[x];
}
inline const int *operator[](const int &x) const
{
return a[x];
}
inline Matrix()
{
for(register int i = 0;i < 3;++i)
for(register int j = 0;j < 3;++j)
a[i][j] = -1;
}
inline bool operator<(const Matrix &o) const
{
for(register int i = 0;i < 3;++i)
for(register int j = 0;j < 3;++j)
if(a[i][j] ^ o[i][j])
return a[i][j] < o[i][j];
return 0;
}
inline bool operator!=(const Matrix &o) const
{
for(register int i = 0;i < 3;++i)
for(register int j = 0;j < 3;++j)
if(a[i][j] ^ o[i][j])
return 1;
return 0;
}
inline void trans(Matrix &o,int x) const
{
for(register int i = 0;i < 3;++i)
for(register int j = 0;j < 3;++j)
if(~a[i][j])
for(register int k = 0;k < 3 && i + j + k <= x;++k)
o[j][k] = max(o[j][k],a[i][j] + i + (x - i - j - k) / 3),
o[j][k] = min(o[j][k],4);
}
inline bool hou() const
{
for(register int i = 0;i < 3;++i)
for(register int j = 0;j < 3;++j)
if(a[i][j] == 4)
return 1;
return 0;
}
};
struct node
{
Matrix jantou[2];
int toitsu;
inline bool operator<(const node &o) const
{
if(toitsu ^ o.toitsu)
return toitsu < o.toitsu;
if(jantou[0] != o.jantou[0])
return jantou[0] < o.jantou[0];
if(jantou[1] != o.jantou[1])
return jantou[1] < o.jantou[1];
return 0;
}
inline void clear()
{
jantou[0] = jantou[1] = Matrix(),toitsu = 0;
}
inline void begin()
{
clear(),jantou[0][0][0] = 0;
}
inline void end()
{
clear(),toitsu = -1;
}
inline node()
{
clear();
}
inline node(int op)
{
op ? end() : begin();
}
inline bool hou() const
{
if(toitsu >= 7)
return 1;
if(jantou[1].hou())
return 1;
return 0;
}
inline node operator+(int x) const
{
if(toitsu == -1)
return *this;
node ret;
x >= 2 && (jantou[0].trans(ret.jantou[1],x - 2),1);
jantou[0].trans(ret.jantou[0],x);
jantou[1].trans(ret.jantou[1],x);
ret.toitsu = toitsu + (x >= 2);
ret.hou() && (ret.end(),1);
return ret;
}
} q[M + 5];
int head,tail;
int tot,e[M + 5][5],ed;
map<node,int> id;
inline void bfs()
{
id[q[++tail] = node(0)] = ++tot;
for(register node p,dir;head < tail;)
{
p = q[++head];
int x = id[p];
for(register int i = 0;i <= 4;++i)
{
dir = p + i;
if(id.count(dir))
e[x][i] = id[dir];
else
e[x][i] = id[dir] = ++tot,q[++tail] = dir;
}
}
ed = id[node(1)];
}
int fac[(N << 2) + 5],ifac[(N << 2) + 5];
int f[2][(N << 2) + 5][M + 5],ans;
int main()
{
bfs();
scanf("%d",&n),fac[0] = 1;
for(register int i = 1;i <= (n << 2);++i)
fac[i] = (long long)fac[i - 1] * i % mod;
ifac[n << 2] = fpow(fac[n << 2],mod - 2);
for(register int i = n << 2;i;--i)
ifac[i - 1] = (long long)ifac[i] * i % mod;
int x;
for(register int i = 1;i <= 13;++i)
scanf("%d%*d",&x),++a[x];
f[0][0][id[node(0)]] = 1;
for(register int i = 1;i <= n;++i)
{
memset(f[i & 1],0,sizeof f[i & 1]);
for(register int j = 0;j <= (n << 2) - 13;++j)
for(register int k = 1;k <= tot;++k)
if(f[(i & 1) ^ 1][j][k])
for(register int l = 0;l <= 4 - a[i] && i + l <= (n << 2) - 13;++l)
f[i & 1][j + l][e[k][a[i] + l]] = (f[i & 1][j + l][e[k][a[i] + l]] + (long long)f[(i & 1) ^ 1][j][k] * fac[4 - a[i]] % mod * ifac[l] % mod * ifac[4 - a[i] - l] % mod) % mod;
}
for(register int i = 1;i <= (n << 2) - 13;++i)
for(register int j = 1;j <= tot;++j)
(j ^ ed) && (ans = (ans + (long long)f[n & 1][i][j] * fac[i] % mod * fac[(n << 2) - 13 - i] % mod) % mod);
ans = ((long long)ans * ifac[(n << 2) - 13] % mod + 1) % mod;
printf("%d\n",ans);
}